5.离散时间傅里叶变换

5.1 非周期信号的表示

5.1.1 从DFS到DTFT

傅里叶变换对：\(\begin{cases}x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega\\X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]e^{-j\omega n}\end{cases}\)

5.1.2 常用信号的离散时间傅里叶变换

5.1.3 DTFT的收敛问题

• \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2<\infty\)，则级数以均方误差最小的原则收敛于\(X(e^{j\omega})\)
• \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|<\infty\)，则\(X(e^{j\omega})\)存在，且级数一致收敛于\(X(e^{j\omega})\)

5.2 周期信号的DTFT

由DFS有\(x[n]=\sum_{k=<N>}a_ke^{jk\omega_0 n}\)，推得\(X(e^{j\omega})=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(w-\frac{2\pi}{N}k)\)

• 与连续时间傅里叶变换中响应的形式是完全一致的

5.3 离散时间傅里叶变换的性质

周期性：若\(x[n]\longleftrightarrow X(e^{j\omega})\)，则\(X(e^{j(\omega+2\pi)})=X(e^{j\omega})\)

• DTFT与CTFT的不同点之一

线性：\(ax_1[n]+bx_2[n]\longleftrightarrow aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})\)

时移与频移：若\(x[n]\longleftrightarrow X(e^{j\omega})\)，则\(\begin{cases}x[n-n_0]\longleftrightarrow X(e^{j\omega})e^{-j\omega n_0}\\x[n]e^{j\omega_0n}\longleftrightarrow X(e^{j(\omega-\omega_0)})\end{cases}\)

时域反转：若\(x[n]\longleftrightarrow X(e^{j\omega})\)，则\(x[-n]\longleftrightarrow X(e^{-j\omega})\)

共轭对称性：若\(x[n]\longleftrightarrow X(e^{j\omega})\)，则\(x^*[n]\longleftrightarrow X^*(e^{-j\omega})\)

• 若\(x[n]\)是实信号，则\(X^*(e^{j\omega})=X(e^{-j\omega})\)
• 若\(x[n]\)是实偶信号，则\(X(e^{j\omega})\)是实偶函数
• 若\(x[n]\)是实奇信号，则\(X(e^{j\omega})\)是虚奇函数
• 若\(x[n]=x_e[n]+x_o[n]\)，则\(\begin{cases}x_e[n]\longleftrightarrow Re[X(e^{j\omega})]\\x_o[n]\longleftrightarrow jIm[X(e^{j\omega})]\end{cases}\)

差分与求和：\(\begin{cases}x[n]-x[n-1]\longleftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(e^{j\omega})\\\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{X(e^{j\omega})}{1-e^{-j\omega}}+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-2\pi k)\end{cases}\)

• DTFT中\(1-e^{-j\omega}\)相当于CTFT中的\(j\omega\)

时域扩展：

• 定义\(x_{(k)}[n]=\begin{cases}x[\frac{n}{k}]&n为k的整数倍\\0&其他n\end{cases}\)
• \(x_{(k)}[n]\longleftrightarrow X(e^{jk\omega})\)

频域微分：\(nx[n]\longleftrightarrow j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}\)

Parseval定理：\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega\)

• \(|X(e^{j\omega})|^2\)称为\(x[n]\)的能量谱密度函数
• DFS中，\(|a_k|^2\)称为周期信号的功率谱

5.4 卷积特性

卷积特性：若\(y[n]=x[n]*h[n]\)，则\(Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\)

• \(H(e^{j\omega})\)是系统的频率特性

5.5 相乘特性

相乘特性：若\(y[n]=x_1[n]x_2[n]\)，则\(Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}X_1(e^{j\omega})*X_2(e^{j\omega})\)

• 由于\(X_1(e^{j\omega})\)和\(X_2(e^{j\omega})\)都是以\(2\pi\)为周期，因此上述卷积称为周期卷积

5.6 对偶性

DFS的对偶性：\(\begin{cases}x[n]\stackrel{DFS}\longleftrightarrow a_k\\a_n\stackrel{DFS}\longleftrightarrow \frac{1}{N}x[-k]\end{cases}\)

DTFT与CFS的对偶：若\(x[n]\stackrel{DTFT}\longleftrightarrow X(e^{j\omega})\)，则\(X(e^{jt})\stackrel{CFS}\longleftrightarrow x[-k]\)

• 利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干性质对偶到CFS中，反之也可以

5.7 由线性常系数差分方程表征的系统

5.7.1 线性常系数差分方程

\(\sum_{k=0}^{N}a_ky[n-k]=\sum_{k=0}^{M}b_kx[n-k]\)

• \(H(e^{j\omega})=\frac{Y(e^{j\omega})}{X(e^{j\omega})}=\frac{\sum_{k=0}^{M}b_ke^{-jk\omega}}{\sum_{k=0}^{N}a_ke^{-jk\omega}}\)
• \(h[n]\)可由\(H(e^{j\omega})\)反变换得到

5.7.2 系统的频率响应

\(H(e^{j\omega})\)是系统单位脉冲响应的傅里叶变换，但并非所有LTI都存在频率响应

• 如果\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}|h[n]|^2<\infty\)，则\(H(e^{j\omega})\)存在
• \(H(e^{j\omega})\)所表征的系统是稳定系统

5.7.3 LTI系统的频域分析方法

1. 由\(x[n]\longleftrightarrow X(e^{j\omega})\)
2. 根据系统的描述，求出\(H(e^{j\omega})\)
3. \(Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})\)
4. \(y(t)=F^{-1}[Y(e^{j\omega})]\)

做傅里叶变换或反变换的主要方法是部分式展开、利用傅里叶变换性质以及常用的变换对